高中趣味数学：有趣的位置几何
发布时间：201108021442来源：武汉巨人学校作者：高中数学部
高中趣味数学：有趣的位置几何有一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑他们尺寸大小的新几何学，叫做拓扑学。有时人们也称它是橡皮膜上的几何学。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后还是点，线变化后依旧是线；相交的图形决不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变的性质。在这种几何中，扭曲和拉长（但不包括撕开和接合）称为拓扑变换。图形在拓扑变换下保持不变的性质，称为图形的拓扑性质。三角形和圆使两种截然不同的图形，但他们都是简单的封闭曲线。在拓扑变换下，三角形能变成圆，三角形的内部变成了圆的内部，三角形的外部变成了圆的外部。这就是说，简单封闭曲线的内部和外部具有拓扑性质。图1显出了画在一块矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圆的情形。
从图２的三个图形可以想象出他们各自表示什么东西。在拓扑变换下，他们中的每一个图形都能变成另一个图形。
传说古波斯穆罕默德的继承人哈立发，为了挑女婿曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题目：请用线把图３中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交。
f这个问题似乎很简单，但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿。事实上，如图4，我们很容易把①、②连起来，从而得到一条简单的封闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部阴影部分①②和外部这两个区域。其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域。要想从闭曲线内部的③，画一条线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！用一个正方体做游戏：如图5，假设正方体的八个顶点表示均匀分布在地球上的八个城市，而每个城市都有三条路线与毗邻城市相连。某学者从A城出发，要到C′城去考察，途中顺便到其他的六个城市旅游。要求这六个城市都只经过一次而最后到达C′城。请画出他的旅行路线。
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