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专题51平面向量的概念及线性运算
一、填空题
1．设
M
是△ABC
所在平面上的一点，且
MB
3＋2
MA
3＋2
MC
＝0，D
是
AC
的中点，则

MDBM

的值为
2．在△ABC中，BD＝3DC，若AD＝λ1AB＋λ2AC，则λ1λ2的值为
3
3
1
【解析】由题意得，AD＝AB＋BD＝AB＋4BC＝AB＋4AC－AB＝4AB＋
3
1
3
3
4AC，∴λ1＝4，λ2＝4，∴λ1λ2＝16
3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF
＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC
1
1
【解析】由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋3BC，BE＝BA＋AE＝BA＋3AC，
CF＝CB＋BF＝CB＋13BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋13BC＋AC－AB
2
1
＝CB＋3BC＝－3BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．
4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于
1
f【解析】由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，可得OA＝OB＝OC设OC与AB交于点D，如图，由OA＋OB＝OC可知D为AB的中点，所以OC＝2OD，D为OC的中点．又由OA＝OB可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°
5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM
＝x
AB
，
AN
＝y
AC
xy，则x＋y的值为
6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的
面积的比值为
【解析】设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5AM＝AB＋3AC，得5AM＝2AD
＋3AC
①，即
AM
2＝5
AD
3＋5
AC
23，即5＋5＝1，故
C，M，D
三点共线，又
AM
＝
AD
＋DM②，①②联立，得5DM＝3DC，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为35，所以△ABM与△ABC的面积的比值为35
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命
题：①AD＝12a－b；②BE＝a＋12b；③CF＝－12a＋12b；④AD＋BE＋CF＝0
其中正确命题的个数为________．
【解析】由BC＝a，CA＝b
1
可得AD＝2CB＋
AC
＝－12a－b，
BE
＝
BC
1＋2
CA
＝a
2
f＋12b，CF＝12CB＋CA＝12－a＋b＝－12a＋12b，AD＋BE＋CF＝－12a－b＋a＋12b－12a＋12b＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为38．若AB＝AC＝AB－AC＝2，则AB＋AC＝________【解析】∵AB＝AC＝AB－AC＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＋AC为△ABC的边BC上的高的2倍，r