点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
［例题分析］例1已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
图1①若AB＝，ON＝1，求MN的长；②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝
∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°
2
f∵ON＝OAcos∠AON＝OMcos60°＝∴
说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2
°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsi
°＝2hta
°＝
例2已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。
图2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。
图2－1∴又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°∴的度数为25°，∴的度数为50°。解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED
3
f图2－2∵AE是直径，∴∠ADE＝90°∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
∴的度数为50°。解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD
图2－3∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
例3已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优
弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO
∵BO＝6，OD＝2∴在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
∴
图3
图3－1
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出
，
在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
4
f∴AB综上所述AB＝小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AEEF＝ECED
图4分析：求证的等积式AEEF＝ECED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中r