2014年高考数学陕西卷理科21题
设函数fxl
1xgxxfxx0，其中fx是fx的导函数（1）g1xgxg
1xgg
x
N，求g
x的表达式；（2）若fxagx恒成立，求实数a的取值范围；（3）设
N，比较g1g2g
与
f
的大小，并加以证明
（Ⅰ）解法1：当x0时，gx0，由递推式可知g
x0；
当x0时，
g
1xgg


x

1
g
xg
x
111
g
1x
g
x
所以

1g
x

是一个以
1g1x
1
1x
为首项，1
为公差的等差数列
则：11
1111
11
g
xg1x
x
1
x
综上所述：
g



x

1
1
x



N

西北工业大学附属中学姚亚卫许德刚王全生陕西省商洛中学屈惠鹏陕西省兴平市西郊高级中学张海林陕西师范大学附属中学张文俊陕西省咸阳市乾县第二中学张丽萍王朋陕西省三原南郊中学贺立新陕西省渭南市合阳中学韩黎波陕西省咸阳市教育局教研室刘聪胜西安市航天中学王鹏飞陕西理工学院子校任强陕西蓝田城关中学靳小平
Ⅱ解法1：已知fxagx恒成立，即l
1xax恒成立①当x0时式显然恒成立，1x
此时aR；②当x0时，x
0式可化为a1xl
1x，设x
1x1
l

x
x0
，
1x
x
x
则
axmi

，x
xl
1xx2
令
hxxl
1xx0
，则x
与
hx
同号因为
hxx0，所以函数hx在0上为增函数，所以hxh00所以x0，所以函1x
数x
在0上为增函数，所以xmi

0

lim
x0
1
xl
1
x
x

lim
x0
1
xl
1
x
x
liml
1x11（洛必达法则），所以此时a1因为式对x0恒成立，所以①②所求a的范
x0
1
围求交集即可所以实数a的取值范围是1
陕西省咸阳市乾县杨汉中学汪仁林姚利娟陕西省商洛中学屈惠鹏陕西省渭南市合阳中学韩黎波陕西省咸阳市教育局教研室刘聪胜陕西省武功县5702中学薛博谋黑龙江密山市第一中学
1
f朱红岩陕西省咸阳市乾县杨汉中学陕西省礼泉一中张克张国耀杜成珍陕西省西安市高新第三中学吕二动西安市航天中学王鹏飞河南省开封市尉氏三中窦国栋西北工业大学附属中学许德刚焦小龙
解法2：l
x1ax在x0恒成立，即x1lx
a1xr