合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有
f效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差CovF1F20，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm为原变量指标X1、X2……XP第一、第二、……、第m个主成分。
F1a11X1a12X2a1pXp

F2

a21X1
a22X2
a2pXp


Fmam1X1am2X2ampXp
根据以上分析得知：
1Fi与Fj互不相关，即CovFi，Fj0并有VarFiai’Σai，其中Σ为X的协方差阵
2F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的……即Fm是与F1，F2，……，Fm－1都不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大者。
F1，F2，…，Fm（m≤p）为构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、……、第m个主成分。
由以上分析可见，主成分分析法的主要任务有两点：（1）确定各主成分Fi（i1，2，…，m）关于原变量Xj（j1，2，…，p）
的表达式，即系数aij（i1，2，…，m；j1，2，…，p）。从数学上可以证
明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m个较大特征根就代
表前m个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大的特征值i（这样选取才能保证主成分的方差依次最大）所对应的特征向量就是相应主成分Fi
表达式的系数ai，为了加以限制，系数ai启用的是i对应的单位化的特征向量，
即有aiai1。（2）计算主成分载荷，主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互
关联程度：
PZkxikakii12pk12m
三、主成分分析法的计算步骤
主成分分析的具体步骤如下：（1）计算协方差矩阵
计算样品数据的协方差矩阵：Σsijpp，其中
sij

1
1

xki
k1

xixkj

xj
i，j1，2，…，p
f（2）求出Σ的特征值i及相应的正交化单位特征向量ai
Σ的前m个较大的特征值12…m0就是前m个主成分对应的方差，i
对应的单位特征向量ai就是主成分Fi的关于原变量的系数，则原变量的第i个主成分Fi为：
FiaiX
主成分的方差（信息）贡献率用来反映信息量的大小，i为：
m
iiii1
（3）选择主成分最终要选择几个主成分，即F1F2……Fm中m的确定是通过方差（信息）r