线和平面垂直的判定定理的应用．、有一根旗杆高，它的顶端挂着两条长的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点、和旗杆脚不在同一条直线上．若这两点和旗杆脚的距离都是，则旗杆就和地面垂直，为什么？
解析在△和△中，∵＝，＝＝，＝＝，∴＋＝＋＝＝，＋＝＋＝＝∴∠＝∠＝°，∴⊥，⊥∵、、三点不共线．
f∴⊥平面，即旗杆和地面垂直．考点四：计算证明、如图，在底面为直角梯形的四棱锥－中，∥，∠＝°，⊥平面，＝，＝，＝，＝求证：⊥平面
解析∵⊥平面，平面，∴⊥∵∠和∠都是∠，
∴∠＝°，∠＝°∴∠＝°，即⊥，又∩＝，∴⊥平面
、如图，已知－是棱长为的正方体，点在上，点在上，且＝＝，求证：、、、四点共面；
若点在上，＝，点在上，⊥，垂足为，求证：⊥平面
f解析如图，在上取点，使＝，则，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又∵＝＝且∥∴四边形是平行四边形．∴，∴，∴、、、四点共面．
如图，⊥，所以∠＝∠，＝∠＝∠
f因为，所以为平行四边形，从而∥又⊥平面，所以⊥平面考点五：反证法、过一点和已知平面垂直的直线只有一条．解析已知：平面α与一点求证：过点与α垂直的直线只有一条．证明：不论点在α内或在α外，设⊥α，垂足为或．如果除直线外，过点还有一条直线⊥α，设与确定的平面为β，且α∩β＝，于是在平面β内过点有两条直线，垂直于直线，这是不可能的．∴过点与α垂直的直线只有一条．、已知：直线⊥平面α，垂足，直线⊥求证在平面α内．已知直线不在平面α内，且与平面α的一条垂线垂直，求证：∥α解析设与确定的平面为β，如果不在α内，则可设α与β相交于直线∵⊥α，α，∴⊥又已知⊥，于是在平面β内，过点有两条直线垂直于，这是不可能的．所以一定在α内．设∩α＝，在上任取异于的一点，过作直线∥，∵⊥，∴⊥，两相交直线与确定一个平面β与α有公共点，故必有经过点的一条交线，∵⊥α，α，∴⊥，，都在β内且与β内直线垂直，∴∥，
f又∥，∴∥，又α，α，∴∥α、如图∥，点在、所确定的平面外，⊥于，⊥于求证：⊥
解析∵⊥，∥，∴⊥又⊥，且∩＝，∴⊥平面又平面，∴⊥
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