同解方程组为ξ1ξ23ξ3，1130001基础解系103110。若设Pp1p2p3，使得PAPJ11，11
20
f则有
Ap1p1
Ap2p2
Ap3p2p3。
可见p1p2应取对应特征值λ1的两个线性无关的特征向量。但若取p1110Tp2301T，为求解p3，求解方程组IAxp2，即2ξ12ξ26ξ33ξ1ξ23ξ30，ξξ3ξ1231
这是矛盾方程组。
遇到这种情况处理方法如下：取定p1110T，又令
p2k1110Tk2301Tk13k2，k1，k2T
只要p2≠0，则p2也是对应λ1的特征向量，选择其中的系数k1，k2，使p2满足两点：（1）与p1线性无关；（2）使方程组IAxp2有解。先求解后者，由于
226k13k2000k13k2IAp2113k1→113k1→113k2000k1k2113k1000k1k20000
可见，当k1k2时，方程组有解。取k1k21，则
p2110T301T211T
它与p1线性无关，又同解方程组为ξ1ξ23ξ3，令ξ2ξ30得
p3100T
12111故相似变换阵P110，使PAP11。0101
注当一个重特征值对应2个及2个以上的Jorda
块时，经常要作这样的处理，应加以注意。
21
f四、应用举例1．证明一些结论例设A∈C
×
的
个特征值为λ1λ2Lλ
，证明λ1λ2Lλ
detA。证根据Jorda
标准形理论，存在
阶可逆阵P使
λ11PAP取行列式即得。2．求方阵的幂

λ2
O，其中代表0或1，Oλ

已知A∈C
×
，要求出Ak，首先求相似变换阵P，使
J11PAPJ
J2
λi其中Ji为Jorda
块Ji，OJs
k
1
λi
OO1λir×rii
则
J1kAkPJP1kPJkP1P
k
J2
1POkJs
可见求出Ak的关键是求出Ji。
λi1
引理
λi
λkiOO1λir×r
k
C1λk1ki
λki
2Ckλk2LCr1λkr1iki1k1r2kr2CkλiLCr