数学分析》华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答
以下每题15分1．设x00，x
，．求级数∑a
x
x
1之和．∑ak（
≥1）x
→b（
→∞）
k1
∞

1
，得解由a
x
x
1（
≥1）
∑a
x
x
1∑x
2x
21lim∑xk2xk21limx
2b2．
1
1
→∞k1
∞
∞


→∞
2．设f0f1，fx≤2（0≤x≤1）．证明fx≤1（0x1）．此估计式能否改进？证明将f1、f0在x点（0x1）用Taylor公式展开并相减，则得
f1f0fx
11fξ1x2fη0x2（0ξη1），由于f0f1，因此得2211fx≤1x2fξx2fη≤1x2x2≤1．22
此不等式可以改进为：fx1（0x1），因为0x1时，上式1x2x21．
3．设fxy有处处连续的二阶偏导数，fx00fy00f000．证明
fxy∫1tx2f11txty2xyf12txtyy2f22txtydt．
0
1
证明
1
∫1tx
0
1
2
f11txty2xyf12txtyy2f22txtydt
1
1dftxtyd2ftxtydftxty∫1tdt1t∫dt200dtdtdt0

dftxty1ftxty0dtt0
xf100yf200fxyf00fxy
4．设fxy在xy≥0上连续，在xy0内可微，存在唯一点x0y0，使得x0y00，
fxx0y0fyx0y00．设fx0y00，fx0f0y0（xy≥0），
x2y2→∞
limfxy0，证明fx0y0是fxy在xy≥0上的最大值．
，假设fx0y0不是fxy在xy≥0上的最大值。由于2lim证明（反证法）2
xy→∞
fxy0，
f存在r0，当x2y2≥rx≥0y≥0时，fxyfx0y0。考察闭区域Dxyx≥0y≥0xy≤r，显然x0y0∈D，由已知fxy在D上连续，
22
设为fx1y1。显然在D上，总有fxyfx0y0，因而必有：从而fxy在D上取得最大值，
fxx1y1fyx1y10。当x2y2≥rx≥0y≥0时，fxyfx0y0≤fx1y1，因此fx1y1是fxy在xy≥0上的最大值。由假设，x1y1≠x0y0。
这与已知矛盾，可知假设不真。5．设处处有fx0．证明：曲线yfx位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．证明设x0y0为曲线yfx上任一点，在该点处曲线的切线方程为
yfx0fx0xx0
对r