一道与圆有关最值问题的再思考
作者：老田头20150806
已知AC、BD为圆Ox2y24的两条相互垂直的弦，垂足M1，2，则四边形ABCD面积的最大值为____________

代数运算（简化运算过程）法一：几何图形的特征
转化
老田头分析：
S1：列出四边形ABCD面积
D
过程：AC、BD相互垂直SABCD
S2：转化为求AC、BD的长度
1ACBD2
A
d2
M
过程：AC、BD为圆O的弦

垂径定理
AC22r2d21222BD2rd2
Od1
B
C
S3：转化为求d1、d2的长度，d1、d2不能直接求出，但存在等量关系，关系___________？S4：求四边形ABCD面积的最大值
过程：面积最大值d1、d2的等量关系转化得出（思考：等量关系最值的方法）老田头解析：
SABCD112ACBD2r2d122r2d2224d124d2224d1d222
d12d22OM23
均值定理3d
21
d222d1d2（均值：等量关系转化成最值）
936S245当且仅当d1d2422
d1d2
田老师点拨：
垂径定理1、几何图形的特征代数运算：圆O的弦
AC2r2d2122BD2rd2
2、均值定理：等量关系转化成最值（以上如何求d1d2的最大值？）3、思考：如何审题条件作用，得出以上的分析？
f法二：解析法（一）老田头分析：
S1：列出四边形ABCD面积
D
过程：AC、BD相互垂直SABCD
S2：转化为求AC、BD的长度
1ACBD2
A
d2
M
过程：AC、BD为圆O的弦
S3：转化为求d1、d2的长度
垂径定理
AC2r2d2122BD2rd2
Od1
B
C
过程：⑴分别设出直线AC、BD的直线方程（讨论斜率是否存在）；⑵运用点到直线距离公式，分别求出d1、d2关于斜率k的长度代数式；⑶代入面积公式得：Sfk的函数
S4：求四边形ABCD面积的最大值，转化为函数最值问题
老田头解析：⑴当直线AC、BD中有一条斜率不存在时，得SABCD⑵当直线AC、BD的斜率存在时，设直线AC方程为：y2kx1，O到直线AC的距离d1同理：BD
22
2
1ACBD26；2
k21k
2
AC
2
43k222k2；1k2


42k222k3（怎样得来？）1k2


∴ACBD20（怎样想到？）；∴SABCD
2211当且仅当ACBD10，解得k322ACBDACBD5，24


f法三：解析法（二）老田头分析：
S1：列出四边形r