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因动点产生的相切问题
例1
2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当ta
A1时，求AP的长；
2
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当ta
A4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q
3
相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
图1
图2
图3
动感体验
请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，y与x成反比例．拖动点P使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为082，⊙M与⊙O相内切，
2
同时与⊙Q相外切．拖动点P使得QP5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、
2
⊙Q都内切．
思路点拨
1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．
满分解答
f（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，ta
A1，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋2m2＝32．
2
解得m35．所以AP2AH4m125．
55
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此QPOP，即y3．
POPA3x
由此得到y9．定义域是0＜x≤6．
x
图4图5（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．在Rt△QPD中，PD1PO3，ta
Pta
A4，因此QP5．
2232
如图7，设⊙M的半径为r．由⊙M与⊙O内切，rO3，可得圆心距OM＝3－r．由⊙M与⊙Q外切，rQQP5，可得圆心距QM5r．
22
在Rt△QOM中，QO5，OM＝3－r，QM5r，由勾股定理，得
22559r23r22．解得r．2211
图6
图7
图8
考点伸展
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？同样的，设⊙M的半径为r．
f由⊙M与⊙O内切，rO3，可得圆心距OM＝r－3．由⊙M与⊙Q内切，rQQP5，可得圆心距QMr5．
22
在Rt△QOM中，由勾股定理，得r52rr