1－12
递增
∴函数fx在［－31］上的最大值为16最小值为－76
18解使P正确的a的取值范围是0a1而Q正确ax2－xa对一切实数x恒大于0
当
a0
时ax2－xa－x
不能对一切实数恒大于
0故
Q
正确

a0
α2

0

a
12

若P正确而Q不正确则0a≤1；若Q正确而P不正确则a≥12
故所求的a的取值范围是01］∪［1∞2
19证明令fxcosx－1x2则f′xx－si
x，2
当x0时由单位圆中的正弦线知必有xsi
x∴f′x0即fx在0∞上是增函数又∵f00且fx连续∴fx在区间［0∞］内的最小值f00
即fx≥0得cosx－1x2≥0即cosx≥1－x2∵f－xcos－x－1x2fx
2
2
2
∴fx为偶函数即当x∈－∞0时fx≥0仍成立，∴对任意的x∈R都有cosx≥1－x22
20解：由题意知LPPQ20QQP20
f8300170PP2P20P3150P211700P166000，LP3P2300P11700．
令LP0，得P30或P130（舍）．
此时L3023000．因为在P30附近的左侧LP0，右侧LP0，L30是极大值．
根据实际意义知，L30是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元．
21解函数fx的导数f′x2xeaxax2eax2xax2eax
①当a0时若x0则f′x0若x0则f′x0
所以当a0时函数fx在区间－∞0内为减函数在区间0∞内为增函数
②当a0时由2xax20解得x－2或x0，由2xax20解得－2x0，
a
a
所以当a0时函数fx在区间－∞－2内为增函数在区间－20内为减函数在区间0∞
a
a
内为增函数
③当a0时由2xax20解得0x－2由2xax20解得x0或x－2
a
a
所以当a0时函数fx在区间－∞0内为减函数在区间0－2内为增函数在区间－2
a
a
∞内为减函数
22．解1设双曲线C的渐近线方程为ykx即kx－y0，
∵该直线与圆x2y－221相切∴21即k±11k2
∴双曲线
C
的两条渐近线方程为
y±x，故设双曲线
C
的方程为
x2a2
－
y2a2
1
又双曲线C的一个焦点为20∴2a22a21∴双曲线C的方程为x2－y212若Q在双曲线的右支上则延长QF2到T使QTQF1若Q在双曲线的左支上则在QF2上取一点T使QTQF1根据双曲线的定义TF22所以点T在以F220为圆心2为半径的圆上即点T的轨迹方程
是x－22y24y≠0
①
由于点N是线段F1T的中点设Nxy、TxTyT

则
x

xT
2
y

yT2

2

即

xT

2x
yT2y
2代入①并整理得点N的轨迹方程为x2y21y≠0
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