校本课程数学思维与方法（二）
第二讲
数学思维的反思性
一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。二、思维训练实例检查思路是否正确，注意发现其中的错误。1检查思路是否正确，注意发现其中的错误。x例1已知fxax，若3≤f1≤03≤f2≤6求f3的范围。b错误解法由条件得
3≤ab≤0b3≤2a2≤6
1637≤f3≤33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
把f1和f2的范围代入得
例2证明勾股定理：已知在ABC中，∠C90°，求证c2a2b2错误证法在RtABC中，si
Aab∴221，即c2a2b2cc
si
错误分析在现行的中学体系中，2Acos2A1这个公式本身是从勾股定理
abcosA而si
2Acos2A1，cc
②
③
×
2
－
①
得
6≤a≤15
推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。2验算的训练验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。例3已知数列a
的前
项和S
2
1，求a
错误解法错误分析
a
S
S
12
12
112
2
12
1
①
④则
×
③④得
2
－
②
得

8b2≤≤333
错误分析xfxax，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最b大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有
f1abbf22a2
12解得：a2f2f1b2f1f2335b16∴f33af2f1399
10b431043≤3a≤即≤f3≤33333采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
显然，当
1时，a1S13≠2111，错误原因，没有注意公式
a
S
S
1成立的条件是
≥2
∈N因此在运用a
S
S
1r