高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
xyl
1y
1．计算D
xdxdy____________，其中区域D由直线xy1与两1xy
坐标轴所围成三角形区域
解
令x
y
uxv，则xvy
uv，dxdy

det
01
11dudvdudv，
D
x
yl
11xy
yxdxdy

D
u
l

uul
1u
vdudv

1

u
l

u
u
dv
u
u
l
vdvdu
01u0
1u0
1u2l
uuul
uudu
01u
1u
1

u2
du
01u
（）
令t1u，则u1t2
du2tdt，u212t2t4，u1ut21t1t，
2012t2t4dt1
2
10
12t2
t4dt
2t

2t33

15
t
5
1
0
1615
2．设fx是连续函数，且满足fx3x2
2
fxdx2
则
fx
____________
0
解令A2fxdx，则fx3x2A2，0
A23x2A2dx82A242A0
解得A4。因此fx3x210。
3
3
3．曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________2
f解因平面2x2yz0的法向量为221，而曲面zx2y22在2
x0y0处的法向量为zxx0y0zyx0y01，故
zxx0y0zyx0y01与221平行，因此，由zxx，zy2y知
2zxx0y0x02zyx0y02y0，
即x02y01，又zx0y0z215，于是曲面2x2yz0在
x0y0zx0y0处的切平面方程是2x22y1z50，即曲面
zx2y22平行平面2
2x2yz0的切平面方程是2x2yz10。
4．设函数yyx由方程xefyeyl
29确定，其中f具有二阶导数，且f1，则
d2ydx2

________________
解方程xefyeyl
29的两边对x求导，得
efyxfyyefyeyyl
29
因eyl
29xefy，故1fyyy，即y
1
，因此
x
x1fy
d2ydx2

y


1x21f
y

fyyx1fy2
fy
1
fy1fy2
x21fy3x21fy
x21fy3
二、（5
分）求极限limex

e2x

e
x
e
x
，其中

是给定的正整数
x0


解因
limex
e2x



e

x

ex
lim1
ex
e2x
e
x




ex
x0


x0


故
Alimexe2xe
x
e
x0


x
elimexe2xe
x

x0

x
elimex2e2x
e
xe12
1e
x0



2
因此
exlim
e2x



e
x

ex
eA

1e
e2
x0


f三、（15分）设函数fx连续，gx1fxtdt，且limfxA，A为常数，求gx
0
x0x
并讨论gx在x0处的连续性
解由limfxA和函数fx连续知，f0limfxlimxlimr