收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求
幂级数的和函数：
（1）变量替换法通过变量替换，化为一较简单的幂级数．
（2）拆项法将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．
（3）逐项求导法通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得
的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．
（4）逐项积分法通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得
的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．
一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有
，向ex的幂级数展开形式转
化，系数含有2
2
1向si
xcosx展开形式转化．
注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．
还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．
f6．如何利用幂级数求数项级数的和？答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点x0处的值．然后求出幂级
数的和函数Sx，则Sx0便是原数项级数的和．
7．如何求函数f在x0处的幂级数展开式？
答：主要有以下两种方法：
（1）直接法．计算函数f在x0处的各阶导数f
x0，写出它的泰勒级数，然后证明
lim

R

x

0
．
（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．
注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围．
三典型例题
1．求幂级数的收敛域：
1）
2x
；
2

2）x22
1；
2
1
3）3
2
x1
；

4）111x
；
2


5）
1
12

x2

．
解：1）由于lim

a
1a

lim
122
lim
121，因此收
2
1
2
2
22
14
敛半径R14，当x4时，这个级数为

24
2

，通项记为u

，则有

24
222
u
2
2

2462
1352
1

2
1，
于是lim

u

，所以当x4时级数

2x
发散，从而可知这个级数的收敛域2

为44．
2）令tx2，则级数
x22
12
1
转化为

t2
12
1
（缺陷幂级数），
ft2
1
下面先求
t2
1的收敛域，因为lim
2
1


2
1t2
1
t2lim
2
12

01，即对任意
2
1
t
r