高中数学奥林匹克竞赛训练题（02）
第一试
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．训练题07十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘
积记为则（C）．
（A）0
（B）1
C1
D以上都不对
2．训练题07△ABC的三个内角依次成等差数列，三条边上的高也依次成等差数列．则为
（B）
（A）等腰但不等边三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）钝角非等腰三角
形
3．训练题07对一切实数，不等式恒成立．则的取值范围是（A）
（A）BC
D
4．训练题07若空间四点满足，则这样的三棱锥共有（A）个．
（A）0
（B）1（C）2（D）多于2
5．训练题07已知不等式时恒成立，则的取值范围是（B）
（A）BCD
6．训练题07方程在复数集内根的个数为则（C）
（A）最大是2（B）最大是4（C）最大是6（D）最大是8
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
1．训练题07函数的值域是________
2．训练题07已知椭圆，焦点为，，为椭圆上任意一点（但点不在x轴上），的内心为，过
作平行于轴的直线交于则________
3．训练题07为的三个内角，
且则_____
4．训练题07实数满足则的最小值是____
5．训练题07在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每
场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任
何一队都少．若至少有队参赛，则__6____
6．训练题07若是一个完全平方数，则自然数
14
．
三、训练题07（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为
4，求这个正三棱锥的体积的最大值．18
四、训练题07（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米秒，在平面其它地方速
度为1米秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线．
五、训练题07（本题满分20分）已知为虚数，且是方程的实根．求实数的取值范围．
第二试一、训练题07（本题满分20分）在中，为边上的任一点，于，于，交于．
求证：．
二、训练题07（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且证明：可
f在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数．三、训练题07（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33点连蓝线．证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形．
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