习题3
31．求下列齐次线性方程组的通解：
xy2z0（1）3x5yz0
3x7y8z0
解对系数矩阵施行行初等变换，得
112
112
A351027
378
0414
10
12
27

B阶梯形矩阵
000
10
0
120
2
720

10
0
010
112
7
2


C
行最简形矩阵

，
0
与原方程组同解的齐次线性方程组为
x

y

11z027z02
，
即
x

y

11z2
7z2
（其中
z
是自由未知量），
令z1，得到方程组的一个基础解系
f
1171T22
所以，方程组的通解为
kk1171Tk为任意常数．22
x1x22x32x47x50（2）2x13x24x35x40
3x15x26x38x40
解对系数矩阵施行行初等变换，得
11227
11227
A23450010114
35680
020221
10
11
20
21
714

B阶梯形矩阵
00007
102121010114
00007
10
01
20
11
00


C
行最简形矩阵
，
00001
与原方程组同解的齐次线性方程组为
x12x3x40

x
2

x4

0
，

x5

0
即
f
x12x3x4

x
2

x4
（其中x3x4是自由未知量），

x5

0
令x3x4T10T，01T，得到方程组的一个基础解系
120100T，211010T，
所以，方程组的通解为
k11k22k120100Tk211010T，k1k2为任意常数．
x1x23x4x50
（3）
4x1x1x22
x2
2x36x3
x4
03x4

4
x5

．
0
2x14x22x34x47x50
解对系数矩阵施行行初等变换，得
11031
A


1
1
2
1
0

42634
24247
11031


00
20
20
23
1

1

B阶梯形矩阵
00000
101076

0
1
1
0

5
6


C行最简形矩阵
，
00

0
0
00
10

13
0

与原方程组同解的齐次线性方程组为
f
x1

x3

76
x5

0
x2

x3

56
x5

0，
x4

13
x5

0
即

x1


x3

76
x5

x2


x3

56
x5
（其中x3x5是自由未知量），

x4

13
x5
令x3x5T10T，01T，得到方程组的一个基础解系
1
11100T，2

76
5011T63
，
所以，方程组的通解为
k11
k22

k111100T

k
2

76

56
0
13
1T
，k1k2为任意常数．
32．当取何值时，方程组
4x3yzx3x4y7zyx7y6zz
有非零解？
解原方程组等价于
4x3yz03x4y7z0x7y6z0
f
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
43
1
3470，
1
76
即
26750，
从而当0和3221时方程组有非零解．
33．求解下列非齐次线性方程组：
x12x2x3x41
（1）

x1
2x2

x3

x4

1

x1

2x2

x3
5x4

5
解对增广矩阵A施行行初等变换
12111
12111
A12r