密度投影
fxyzdV
b
dx
y2xdy
z2xyfxyzdz
面积

a
y1x
z1xy
P159例1P160例2
3页
f（2）利用柱面坐标
xrcos

y

r
si


zz
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围
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P161例3
○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体
○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离如fx2y2fx2z2
（3）利用球面坐标
xcosrsi
cos

y


si


rsi
si

zrcos
适用范围
P165101
○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单如，球体，锥体
○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离如，fx2y2z2（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
积分类型
计算方法
第一类曲线积分曲形构件的质量
质量线密度
弧长
平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功
参数法（转化为定积分）
（1）Lyx
I

ftt
2t2tdt

（2）
L

x

y

tt
t
I
b
fxyx
1y2xdx
a
（3）rr







L


xy

rcosrsi

（1）参数法（转化为定积分）
（2）利用格林公式（转化为二重积分）
条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数
结论：
L
Pdx

Qdy


D

Qx

Py
dxdy
满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞
不是封闭曲线，添加辅助线
典型例题
P189例1P190－3
P196例1、例2、例3、例4
P205－例4P214514
4页
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（3）利用路径无关定理（特殊路径法）
等价条件：①QPxy
②PdxQdy0L
③PdxQdy与路径无关，与起点、终点有关L
P211例5、例6、例7
④PdxQdy具有原函数uxy
（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）
（4）两类曲线积分的联系
空间第二类曲线积分变力沿曲线所做的功
（1）参数法（转化为定积分）（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向
②P，Q，R具有一阶连续偏导数
第一类曲面积分
Ifxyzdv
曲面薄片的质量
质量面密度
面积第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量
LPdxQdyRdz
结论：




Ry

Qz
dydz


Pz
r