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量子力学试题物理系物理学专业2001(春)级
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学号
得分

一、简答题(每小题5分,共40分)
1用球坐标表示,粒子波函数表为r,写出粒子在球壳rrdr到的几率,以及粒子在立体角d中被测到的几率。2写出一维谐振子的波函数(包括归一化系数)和能级表达式。3量子力学中,体系的任意态x可用一组力学量完全集的共同本征态
x展开:中被测
xc
x,

写出展开式系数c
的表达式。4给出如下对易关系:
zp
z
xp
y
L
x
Lz

L
2
Lx


z

y

r2,5完全描述电子运动的旋量波函数为rszr2
准确叙述r26对于阶梯形方势场

2


d3rr2
2
分别表示什么样的物理意义。
V1VxV2
xaxa

如果(V2V1)有限,则定态波函数x连续否?其一阶导数x连续否?7二粒子体系,仅限于角动量涉及的自由度,有哪两种表象?它们的力学量完全集分别
QM2001级春1
f是什么?两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么?8一维运动中,哈密顿量H
p2Vx,求xH2m
pH
二、计算题(共60分。911题各10分;12、13题各15分)
9求

xaAsi
2a
x0
的归一化常数A。10m
xaxa

为Lz的二本征态,本征值分别为m和
。证明:在Lz的任何本征
态(比如
)下,恒有LxLy0。11已知L、s分别为电子的轨道角动量和自旋角动量,JLs为电子的总角动量。





L,J
22
Jz的共同本征态为ljmj。证明ljmj是sL的本征态,并就jl12和

jl12两种情况分别求出其相应的本征值。
12氢原子处于基态:x
1
a3
era求:
(1)势能e
2
r的平均值;
(2)最可几半径。13粒子在一维势场
Vxax2
2
x0xa0xa
中运动,甚小,试求基态能量准确到的修正值以及应满足的条件。
QM2001级春2
fr
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