高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选
1如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，设PA⊥平面ABCD，EC∥PA，且PA2（1）当CE为多少时，PO⊥平面BED；（2）在（1）情形下，求二面角EPBA的余弦值：解：以A为原点，直线AD为x轴，AB为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系（1）则P（0，0，2），O（1，1，0），D（2，0，0）∵EC∥PA，∴可设E（2，2，z）则PA112ED02z∵△PBD为等腰三角形，∴PO⊥BD，故要使
POED即POED0，……4分
∴－22z0，∴z1，即OE1时，PO⊥平面BED……………………………6分（2）∵AD⊥平面PAB，AD是平面PAB的一个法向量，且AD200设
xyz为平面PBE的一个法向量由PB022BE201由
BE
PB得解得：yzx
2y2z02xz0
z2
AD
AD13
取z2，则x－1，y2，
122cos
AD故二面EPBA的余弦值为
13
2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BCAC2，AA13，D为AC的中点（Ⅰ）求证：AB1面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1BDC的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论
用心
爱心
专心
f（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点又D是AC的中点，∴ODAB1∵AB1面BDC1，OD面BDC1∴AB1面BDC1（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）D（1，3，0），设
（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则

C1B03y12z1011取
1…………6分即32
C1D0x13y10
易知C1C0，3，0是面ABC的一个法向量
cos
C1C

C1C
C1C

122∴二面角C1BDC的余弦值为77736
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1
y3CPC1B03y30即则7CPC1D023y30y3
∴方程组无解∴假设不成立∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC13如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1（I）求证ABSC是定值；（II）已知P是SC的中点，且SO3，问在棱SA上是否存在一点Q，使得异面直线OP与BQ所成的角为90°r