剖析高中数学中的恒成立问题
三个同学对问题“关于x的不等式x225x35x2ax在112上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a的取值范围解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映设fxx225x35x2gxax甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设fxx225x35x2gxax其解法相当于解下面的问题：对于x1112x2112若fx1gx2恒成立求a的取值范围所以，甲的解题思路与题目x112fxgx恒成立求a的取值范围的要求不一致因而甲的解题思路不能解决本题按照丙的解题思路需作出函数fxx225x35x2的图象和
gxax的图象然而函数fx的图象并不容易作出
由乙的解题思路本题化为
fxa成立xmi

fxa在x112上恒成立等价于x112x
时
由
fx25xxx5在x5112时有最小值10于是a10xx
这就是高中数学中的恒成立问题。
f新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1、二次函数：①若二次函数fxax2bxca00（或0）在R上恒成立，则有（或判别式）；最值
②若二次函数fxax2bxca00（或0）在指定区间上恒成立，可以利用求最值和韦达定理以及根的分布等知识求解。利用最值：；利用韦达定理以及根的分布等知识求解。2例1：已知不等式2x9xr