清北学长精心打造华约自主招生数学模拟试题及参考答案一
1、设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体对角线长为l，试证：l－al－bl4444－c≥512abc。
44444
2、设S1，2，…，
，A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）
3、（本题20分）已知F为抛物线y4x的焦点，M点的坐标为40，过点F作斜率为k1
2
的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2．（I）求
k1的值；（II）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．k2
24、（本题20分）已知函数fx2l
xx。（I）若方程fxm0在e内有两个
1e
不等的实根，求实数m的取值范围．（II）如果函数gxfxax的图象与x轴交于两点Ax10，Bx20，且0x1x2。求证：gpx1qx20（其中正常数p、q满足
pq1qp）。
f5、如图四边形ABCD为平行四边形∠BAF＝∠BCE求证：∠EBA＝∠ADE
P
EAB图2GFDC
6、已知fxlgx1
2求集合M
f
214
19980，
Z的子集个数
2

1log3x1解方程fx0；2
7、设
是正整数a
其中x表示不超过x的最大整数，求同时满足下列条件的

的最大值：1
不是完全平方数；2a3
2
f参考答案：2222222222221、证：左边＝l＋al－al＋bl－bl＋cl－c222222222222222222＝a＋b＋c＋ab＋ca＋b＋c＋ba＋ca＋b＋c＋ca＋b≥44a4b2c22b2c244a2b4c22a2c244a2b2c42a2b2＝512abc，其中等号在a＝b＝c时取到。2、构造具有如下要求的集合A：把A中的元素按从小到大的次序排好后，在其最大元素后面添上S的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。这时，A的首项与公差一旦确定，当其整个集合A也即确定，不妨设A的首项为a，公差为d，则a1d12…
－1时的集A有
－1个；a2d12…
－2时的集A有
－2个；……a
－1，d1时的集A有1个因此，所求A的总个数为12…（
－1）
444

12
3、解：（I）由条件知F10，设Ax1y1、Bx2y2、Cx3y3、Dx4y4，不妨
2设y10．直线AB的方程为yk1x1，与y4x联立得y2
4y40k1
所以y1y24，x1x21．①当x14时，则A44，故y2
411r