第十一章线性算子的谱
1．设XC01AxttxtxX。证明A01，且其中没有特征值。证明当01时，常值函数1不在IA的值域中，因此IA不是满射，这样
A。
反之若01，定义算子RR
1xt。则由于01，且t
Rxmax
atb
11xtxtd01
因此R是C0，1中有界线性算子。易验证RIAIARI，所以A。总之A01，若Aff，则对任意t，tftft，可推得ft0。由于ftC01，必有ft0，所以A无特征值。证毕。2．设XC02AxtextxX，证明
it
A1。
证明对任意e
it0
iteit0IAxteit0eitxt。因为常值函数1不在eIA的值
0
it域中，因此e0A。这样1A。
反之，若
1，定义RRxt
1xt。类似第1题可证R是有界线性算eit
子，且RIAIARI。即A。因此A1。证毕。3．设Xl
2
AxAx1x2
x
x2x3
x
，
试求A。解对任意，若
1，定义x1

，显然
xl2Ax2

1

x，因此1的内点都
f是A的点谱，由于A是闭集，则1A。对任意xA，显然Axx，因此A1，所以AA1。这样我们就证明了A1。4．设F是平面上无限有界闭集，
是F的一稠密子集，在l中定义算子T：
2
Txx1x2
x
1x1
x

则
都是特征值，TFF
中每个点是T的连续谱。证明对任意
，e
00
10，其中1在第
个坐标上。由题设，Te
e
，
因此
是T的特征值。又由于T是闭集，所以
FT。若F，则dF0。定义算子R，若
xx1x2
Rx
x
l2，
1x

11x1x122
易验证Rx
1x，且RITITRI。dF
因此TF。若
F
，且xx1x2
x。则对任意
，x
x
。x
l2，使Tx
。这样x0，因此不是特征值，而是连续谱。证
由于
，则x
r