A、判断题（正确的划√，错误的划×）1．若无向连通图G的所有顶点的度数均为偶数，则G为欧拉图。（）2．同构的两个图所含边数可以不同。（）3．K5是非平面图。（）4．极大可平图必为连通图。（）1．画出4K的所有非同构的生成子图。2．已知ｎ阶ｍ边的无向图G为ｋ个连通分支（ｋ≥2）的森林，证明mｎ－ｋ。3对于任何具有pp≥2个连通分支的平面图G，有
－m＋rp＋1。其中
、m和r分别是G的阶数、边数和面数B、判断题（正确的划√，错误的划×）1．同构的两个图所含顶点数相同。（）2．完全图K
≥3都是欧拉图。（）3．K33是非平面图。（）4．在图的运算时，缩边与删边得到的结果一致。（）1画出所有7阶非同构的无向树。2证明任何连通图G都有生成树．3对于任何具有pp≥2个连通分支的平面图G，有
－m＋rp＋1。其中
、m和r分别是G的阶数、边数和面数
fA判断：1（√）2（×）3（√）4（√）1
2证明：G为ｋ个连通分支（ｋ≥2）的森林，设G的连通分支为G1，G2……Gk，Gi的顶点数、边数分别为
i，mi，对每个Gi都为树，则有mi
i1。所以
B判断：1（√）2（×）3（√）4（×）1答案：（共11个）
2证明：如果G中无回路，则G是树，即为生成树．如果G中有回路Γ，记删除Γ上一条边e后所得的图为1G，则1G是连通的．
f如果1G中无回路，则是G的生成树．如果1G中有回路1Γ，记删除1Γ上的一条边1e后所得图为2G，则2G是连通的．如果2G中无回路，则2G是G的生成树．如果2G中有回路，则重复上述的做法．因G的边数是有限的，故经过有限次上述过程后必得到G的一棵生成树．3）证明：设G的连通分支为G1，G2……Gp，并设
i，mi，ri为Gi的顶点数、边数和面数，i＝1，2……p由欧拉公式得
imiri2i＝1，2……p而
mrp1
f2设G为群若x∈G都有x2e，证明G为Abel群3设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群，证明GHGKKH4设G为整数加群〈Z，〉，在G内定义运算如下：ab∈Gabab2证明G关于运算构成群。5设H是群G的子群，x∈G，令xHx1xhx1h∈H，证xHx1也是G的子群。6R为环，令Cxx∈R且a∈R有ax＝xa．证明C为R的子环。
3证：由拉格朗日定理有GGKKKKHH代入得GGKKHH再根据拉格朗日定理有GGHH，比较两个等式，命题得证。4证：显然运算是Z上二元运算。“先证运算是可结合的”abc∈Z有
fabcabc2ab2c2abc4abcabc2abc22abc4从而abcabc“再证2是Z中关于运算的单r