2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、设fx是定义在R上函数，对任意的实数x有fx3fx41，又当0x7时，fxlog29x，则f100的值为
2、若实数xy满足x22cosy1，则xcosy的取值范围为
3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x2y21，F是C的焦点，A为C的右顶点，910
P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数
是
5、正三棱锥PABC中，AB1，AP2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所
成角的余弦值为
6、在平面直角坐标系xOy中，点集Kxyxy101，在K中随机取出三个点，则这三
个点中存在两点距离为5的概率为7、在ABC中，M为边BC的中点，N是线段BM的中点，若A，ABC的面积为3，
3则AMAN的最小值为
8、设两个严格递增的正整数数列a
，b
满足a10b102017，对任意正整数
，有
a
2a
1a
，b
12b
，则a1b1的所有可能值为
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f二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）
设km为实数，不等式x2kxm1对所有xab成立，证明：ba22。
10、（本题满分20分）设x1x2x3是非负实数，满足x1x2x31，求
x1
3x2
5x3x1


x23

x35
的最小值和最大值。
11、（本题满分
20
分）设复数
z1

z2
满足
Re
z1


0
，
Re
z2


0
，且
Re
z12


Re
z
22


2
，（其
中Rez表示复数z的实部）
⑴求Rez1z2的最小值；⑵求z12z22z1z2的最小值。
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f2017年全国高中数学联合竞赛二试（A卷）
一、（本题满分40分）如图所示，在ABC中，ABAC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点BI的圆3与1、2分别交于点P、Q（不同于点B）。设IP与BQ交于点R。证明：BRCR（答题时请将图画在答卷纸上）
二、（本题满分
40
分）设数列a
定义为a1
1，a
1

aa



a
a




，

12
求满足ara32017的正整数rr