第一单元函数、极限与连续
函数
一、概念1、函数的定义：yfxxD
2、分段函数：
如
3x2
y

x
2
1

0x32x0
注意：1、同一（相同）函数：对应规则相同，定义域也相同；如
yx2与yx2不是同一函数yx21与yx1当x1时相同x1
2、分段函数是定义域中的不同范围用不同的式子表示的，不能认为是多个函数。
3、复合函数：yfuux
4、基本初等函数：常数函数：yc（c为常数）
幂函数：yx（R）
指数函数：yaxa0且a1对数函数：ylogaxa0且a1三角函数：ysi
x，ycosx，yta
x，ycotx，ysecx，ycscx
反三角函数：yarcsi
x，yarccosx，yarcta
x，yarccotx
5、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数。
6、反函数（单值函数）yfx反函数为yf1x
例：已知φ是f的反函数，求f2x1的反函数解：令yf2x1，解得2x1φy
x1y1互换xy的位置，即2
y1x12
二、性质1、单调性：（导数的应用时讨论）2、周期性：（略）
3、奇偶性：偶fxfx，对称于y轴
奇fxfx，对称于原点
13
f几个性质：偶×偶偶，偶×奇奇，奇×奇偶，偶＋偶偶，奇＋奇奇，偶＋奇非奇非偶。
例1：设函数fx是定义在对称于原点的区间上，试证明函数
Fxfxfx为偶函数，Gxfxfx为奇函数。
证明：因FxfxfxfxfxFx
所以Fxfxfx为偶函数；
因GxfxfxfxfxGx所以Gxfxfx为奇函数。
例2：函数fx在上有定义，下列函数中必是奇函数的是（B）AyfxByx3fx4Cyfx
Dyfxfx
（08、1）
4、有界性：区间I上有fxM，称M为fx的界。
例：设fx
x1x2
，讨论
f3x
fffx的有界性
解：f2xffx
fx1fx2
x12x2
f3xff2x
f2x1f2x2
x13x2
因f3x
x
13x2
x13x3
所以f3xfffx为有界函数
三、定义域：（由所给函数的形式决定）
几个基础函数：y1x
x0
y
x
x0
ylogax
x0
yarcsi
x1x1（使函数有意义的自变量的值的集合）
例如：1、求yx23x2的定义域。解：令x23x20即x1x20，解得x≤1及x≥2
13
f定义域为：12
2、求yx1的定义域。x2x6
解：令
x2
x1x
6

0
x2x60
解得定义域为：213
3、求y16x2lgsi
x的定义域。解：令16x20
Si
x0
前者解得4x4，后者解得2
x2
1
01
定义域为：40
四、函数的符号运算
r