第三章矩阵力学基础I第三章矩阵力学基础力学量和算符
上一章，中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数ψxt。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数ψxt猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯（Heise
berg）、玻恩、约丹Jorda
、坎拉克Dirac提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r和p的对易关系将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。这种量子化，通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程薛定谔方程同样的作用。
§31力学量的平均值
在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”在本章中我们将看到所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值x0的概率，或电子动量具有某一确定值p0的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地，坐标x的平均值和动量p的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由ψ给出，而且这些平均值就是在ψ所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态r