一、等差数列
1等差数列的定义daa
1d为常数2≥
2等差数列通项公式
111
aa
dd
ad
N∈首项1a公差d末项
a
推广dm
aam
从而m
aadm

3等差中项
1如果aAb成等差数列那么A叫做a与b的等差中项即2
b
aA
或baA22等差中项数列
a是等差数列2211≥
aaa

212

aaa
4等差数列的前
项和公式
12

aaS
112

ad211
22
d
ad
2A
B
其中A、B是常数所以当d≠0时S
是关于
的二次式且常数项为0
特别地当项数为奇数21
时1
a是项数为2
1的等差数列的中间项
12121121212


aaS
a
项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项
5等差数列的判定方法
1定义法若daa
1或daa
1常数
∈N
a是等差数列
2等差中项数列
a是等差数列2211≥
aaa

212

aaa⑶数列
a是等差数列bk
a
其中bk是常数。
4数列
a是等差数列2
SA
B
其中A、B是常数。
6等差数列的证明方法
定义法若daa
1或daa
1常数
∈N
a是等差数列
7提醒
1等差数列的通项公式及前
和公式中涉及到5个元素1a、d、
、
a及
S其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个便可求出其余2个即知3求2。
2设项技巧
①一般可设通项11
aa
d
②奇数个数成等差可设为…22adadaadad…公差为d
③偶数个数成等差可设为…33adadadad…注意公差为2d
8等差数列的性质1当公差0d≠时
等差数列的通项公式111
aa
dd
ad是关于
的一次函数且斜率为公差d
前
和2111222

dd
S
ad
a
是关于
的二次函数且常数项为0
2若公差0d则为递增等差数列若公差0d则为递减等差数列若公差0d则为常数列。
f3当m
pq时则有qp
maaaa特别地当2m
p时则有2m
paaa
注12132

aaaaaa
4若
a、
b为等差数列则12

ababλλλ都为等差数列
5若
a是等差数列则232


SSSSS…也成等差数列
6数列
a为等差数列每隔kk∈
N项取出一项23mmkmkmkaaaa仍为等差数列
7设数列
a是等差数列d为公差奇S是奇数项的和偶S是偶数项项的和
S是前
项的和
1当项数为偶数
2时
121135212

aaSaaaa
a
奇
22246212


aaSaaaa
a偶
11

SS
a
a
aa偶奇
11


S
aaS
aa奇偶
2、当项数为奇数12
时则
212111
SSSr