试卷一：
得分
一、单项选择题（3分×515分）
1、1、下列各式正确的是（）


（A）l
imA



1k

Ak

（B）
lim

A



1

k

Ak



（C）l
imA



1k

Ak

（D）lim

A



1k

Ak

2、设P为Ca
tor集，则下列各式不成立的是（）
（A）Pc
BmP0
CPP

DPP
3、下列说法不正确的是（
）
A凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
C开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测
4、设f
x是E上的ae有限的可测函数列则下面不成立的是

（A）若f
xfx则f
xfxBsupf
x是可测函数

（C）
i
f


f


x
是可测函数（D）若
f
x
fx则
fx可测
5、设fx是ab上有界变差函数，则下面不成立的是（
）
Afx在ab上有界Bfx在ab上几乎处处存在导数
b
（C）fx在ab上L可积Dfxdxfbfaa
得分
二填空题3分×515分
1、CsACsBAAB_________
o
2、设E是01上有理点全体，则E______E______E______
3、设E是R
中点集，如果对任一点集T都有
（第1页，共18页）
f_________________________________，则称E是L可测的4、fx可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设fx为ab上的有限函数，如果对于ab的一切分划，使
_____________________________________________________则称fx为
ab上的有界变差函数。
得分
三、下列命题是否成立若成立则证明之若不成立则举
反例说明5分×420分
1、设ER1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。
2、若mE0，则E一定是可数集3、若fx是可测函数，则fx必是可测函数。
4．设fx在可测集E上可积分，若xEfx0，则fx0E（第2页，共18页）
f得分
四、解答题（8分×216分）
1、（8分）设
f
x

x2x为无理数
1
x为有理数
，则fx在01上是否R可积，是否L
可积，若可积，求出积分值。
2、（8分）求liml
x
excosxdx

0


（第3页，共18页）
f得分
五、证明题（6分×41034分）
1、（6分）证明01上的全体无理数作成的集其势为c
2、（6分）设fx是上的实值连续函数，则对于任意常数
aExfxa是闭集。
3、（6分）在ab上的任一有界变差函数fx都可以表示为两个增函数之差。
（第4页，共18页）
f4、（6
分）设mE


f
x在E上可积，e


E
f



，则
lim



me

0
5、（10分）设fx是E上ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，r