零向量的起点与终点重




合它的方向可以看作是任意的
二、向量的加法1．向量的加法向量的加法设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此
时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作ab即cab三角形法则
f上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则平行四边形法则当向量a与b不平行时平移向量使a与b的起点重合以a、为邻边作一平b
c
C
b
b
D
c
C
A
a
B
A
a
B
行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab向量的加法的运算规律1交换律abba2结合律abcabc由于向量的加法符合交换律与结合律故
个向量a1a2a
3相加可写成a1a2a
并按向量相加的三角形法则可得
个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的起点相继作向量a1a2a
再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量这个向量即为所求的和负向量设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法我们规定两个向量b与a的差为baba即把向量a加到向量b上便得b与a的差ba特别地当ba时有
fa
b
b
ba
a
ba
aaaa0显然任给向量AB及点O有
ABAOOBOBOA

因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差ba三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有abab及abab其中等号在b与a同向或反向时成立

2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a与实数的乘积记作a规定a是一个向量它的模aa它的方向当0时与a相同当0时与a相反当0时a0即a为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1时有1aa1aa运算规律1结合律aaa；2分配律aaa；
abab
例1在平行四边形ABCD中设ABaADb

f试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD其中M是平行四边形对角线的交点




解由于平行四边形的对角线互相平分所以abAC2AMr