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位似变换的应用
位似变换是一种特殊的相似变换，是相似变换的延伸和深化．位似变换具有很多重要性质，在求轨迹解作图、求函数解析式、几何证明中，位似变换是一个有力的工具．利用位似变换的性质能提高学生解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心；利用位似变换的定义和定理可以很快判断出两个图形是否是位似形．一、位似变换在函数中的应用利用位似比、位似中心及位似图形的性质求函数解析式，既简单又方便．例1已知反比例函数y＝数解析式．分析要求反比例函数解析式，只要知道一点的坐标．因此，在y＝
1，求以坐标原点为位似中心，位似比为2：1的反比例函x1上的图象上找x
一点A，所求反比例函数图象上对应点为A’，由已知OA’：OA＝2：1，从而求出A’点坐标．解如图1，在y＝
1图象上取一点A1，1，连结OA并延长OA至点A’，使OA’：x4．x
OA＝2：1，则得图象上的对应点A’2，2．∴所求反比例函数关系式y＝
例2已知，如图2，抛物线y＝x2－2x－2，求以原点为位似中心，且位似比为2：1的抛物线的关系式．分析要求抛物线的关系式，可以寻找特殊点的坐标，已知抛物线顶点A（1，－3），与y轴交点B0，－2，根据位似性质可以求出未知抛物线的顶点A’以及与y轴交点B’的
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坐标．解∵y＝x2－2x－2
＝（x－12－3，∴顶点A（1，－3），与y轴交点B0，－2所求抛物线与已知抛物线是位似图形，根据位似图形的性质，可得所求抛物线顶A’（2，－6），与y轴交点B’（0，－4）．∴可设所求抛物线解析式为y＝ax－22－6．将B’坐标值代入该式，可得－4＝a0－22－6，解得a＝
1，2
∴抛物线解析式为y＝
1x－22－6．2
由例1、例2得出：求位似变换后函数图象关系式一般方法：先在原函数图象上取一些特殊点，然后根据位似中心、位似比以及位似图形的性质，求出所求图象上的一些特殊点的坐标，因此解题关键是如何选择特殊点，具体选法要根据函数图像性质来确定．二、位似变换在作图中的应用根据位似图形的性质，利用位似变换来完成某些作图，是一种常用的方法．位似变化的理论对某些几何作图的解法起着重要的作用，利用位似的性质解作图题的方法叫位似法．例3如图3，已知∠AOB，E为∠AOB内一定点，求作⊙C，使⊙C经过E点，且与∠AOB两边都相切．
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分析要使⊙C经过E点，且与∠AOB两边相切，先暂时放弃过E点这个条件，保留与∠AOB两边相切，这时可作无数个圆，它们都与要r