22复合函数求导法则
一、导入新课：
上节课我们学习了导数的概念、性质、几何意义和基本初等函数的求
导公式，本节课我们要介绍复合函数的求导方法。
二、讲授新课：
221复合函数的求导法则
利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算，只能够求一些比较
简单的函数导数，对比较复杂的复合函数，还要利用“复合函数的求导法
则”去求。复合函数求导法则是求导的灵魂，是求初等函数的导数所不可
缺少的工具。
引例221前面我们已经指出，si
2xxcos2x，利用导数的四则运算法则
求si
2xx
解：si
2xx2si
xcosxx2si
xcosxcosxsi
x
2cos2xsi
2x2cos2x
引例222设fxx322，求dfx
dx
解：
dfxdx
x3

22x

x6

4x3

4

6x5
12x2
6x2x322x323x2
上面两个例子都表明：“复合函数对自变量的导数等于该函数对中间变
量的导数与中间变量对自变量的导数之积。”这个规律是否具有普遍性呢？
下面的定理给出了肯定的回答。
5
f定理221（复合函数的求导法则）如果函数ux在点x处可导，而函数
yfu在对应的点u处可导，那么复合函数yfx也在点x处可导，且有dydydu或fxfux
dxdudx
例222求ysi
2x的导数。
解：ysi
u2xcosu22cos2x
例224求函数ysi
l
2x的导数。
解：ysi
l
2xcosl
2xl
2x
cosl
2x12xcosl
2x12cosl
2x
2x
2x
x
222反函数的求导法则
定理222若单调连续函数xy在点y处可导，而且y0，则它的反函数yfx在对应的点x处也可导，且有
fx
1y
或
dydx

1dx
dy
例226验证指数函数求导公式axaxl
aa0a1成立。证：因为yax是xlogay的反函数，且xlogay在0内单调、可导，又
dx10dyyl
a
所以
y1yl
aaxl
adxdy
即
axaxl
a
5
f特别地，有exex
223三个求导方法
1）隐函数求导法
对于求由隐函数所确定的函数导数问题，我们给出隐函数求导方法：
第一步，注意到y是x的函数，方程Fxy0的两端同时对x求导，得到关
于y的方程；
第二步，解出y，得所求的导数。例227求由方程exyxy所确定的隐函数yfx的导数dy。
dx
解：把方程exyxy的两端对x求导，记住y是x的函数，得
exyxyxy
即
exy1yyxy
由上式解出y，便得隐函数yfx的导数为
y

yexyexyx

yxyxyx
2）对数求导法
对数求导法也分为如下两步：
第一步，对函数yfx的两边取对数，得l
yl
fx；
第二步，利用隐函数求导法则，方程l
yl
fx两边对x求导，注意到y是r