s
i
6
a2s
i
4
c
o2s
d

3
as
i
2
d

3a．
0
0
3
33
0
32
f二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数
f
x
si
x
lim

1

2
x
2

的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
解：
si
x
1
f
x


lim

si
x12x2



2

1
2
0
x12
x12
x1．2
x12
因此
x1


12
与
x2

12
是函数
f
x的间断点．
limfxlim00，limfxlimsi
x1，因此x1是函数fx的第一类可
x1
x1
x1
x1
2
2
2
2
2
去型间断点．
limfxlimsi
x1，limfxlim00，因此x1是函数fx的第一类可去型
x1
x1
x1
x1
2
2
2
2
2
间断点．
7．设是函数fxarcsi
x在区间0b上使用Lagra
ge（拉格朗日）中值定理中的“中值”，
求极限lim．b0b
解：
fxarcsix
在区间0b上应用Lagra
ge中值定理，知存在0b，使得
arcsi
barcsi
01b0．
12
所以，21
b
2
．因此，
arcsi
b
2
lim
b0
b2
1
b
2

limb0
arcsi
bb2
limb0
arcsbi
2b2b2arcsbi
2
f令tarcsi
b，则有
2lim
lim
t2
si
2t
lim
t2
s
i
2t
bb02t0t2si
2t
t0
t4
lim2tsi
2tlim22cos2t1lim1cos2t1lim2si
2t1
t04t3
t012t2
6t0t2
6t02t
3
所以，lim1．
b0b
3
1x
1
8．设fxey2ydy，求fxdx．
0
0
解：
1
1

f
xdx

xf
x10


xf
xdx
0
0
1x
在方程fxey2ydy中，令x1，得
0
11
0
f1ey2ydyey2ydy0．
0
0
1x
再在方程fxey2ydy两端对x求导，得fxe1x2，
0
1
1
1
因此，

f
xdx

xf
x10


xf
xdx


xf
xdx
0
0
0

1
xe1x2dx

1
e
xex2dx

e
1
ex2

1
1
e1
．
0
0
202
9．研究方程exax2a0在区间内实根的个数．
解：
设函数fxax2ex1，fx2axexax2exax2xex．
令fx0，得函数fx的驻点x10x22．
由r