专题强化训练十六解三角形
1．2019天津卷在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝
2a3csi
B＝4asi
C
1求cosB的值；
2求si
2B＋π6的值．
解：1在△ABC
bc中，由正弦定理si
B＝si
C，得
bsi
C＝csi
B，又由
3csi
B＝4asi
C，
得3bsi
C＝4asi
C，即3b＝4a又因为b＋c＝2a，得到b＝43a，c＝23a由余弦定理可得
cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋249aa2－2319a6a2＝－14
2由1可得si
B＝
1－cos2B＝
154，
从而si
2B＝2si
BcosB＝－
158，
cos2B＝cos2B－si
2B＝－78，
故si
2B＋π6＝si
2Bcosπ6＋cos2Bsi
π6＝－815×23－78×12＝－3156＋72．2019石家庄一模已知△ABC的面积为33，且内角A，B，C依次成等差数列．1若si
C＝3si
A，求边AC的长；2设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．解：1∵△ABC三个内角A、B、C依次成等差数列，∴B＝60°设A、B、C所对的边分别为a、b、c，由△ABC的面积S＝33＝12acsi
B可得ac＝12∵si
C＝3si
A，由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝28，∴b＝27，即AC的长为272∵BD是AC边上的中线，
f∴B→D＝12→BC＋→BA，
∴B→D2＝14B→C2＋B→A2＋2B→CB→A＝14a2＋c2＋2accosB＝14a2＋c2＋ac≥142ac＋ac＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，
∴→BD≥3，即BD长的最小值为33．2019合肥质检二在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，si
2A＋si
2B＋si
Asi
B＝2csi
C，△ABC的面积S＝abc1求角C；2求△ABC周长的取值范围．解：1由S＝abc＝12absi
C可得2c＝si
C，∴si
2A＋si
2B＋si
Asi
B＝si
2C，由正弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理得cosC＝－12，∴C＝23π2由1知2c＝si
C，同理可知2a＝si
A，2b＝si
B△ABC的周长为a＋b＋c＝12si
A＋si
B＋si
C
＝12si
A＋si
π3－A＋
34
＝12si
A＋
23cosA－21si
A＋
34
＝1212si
A＋
23cosA＋
34
＝12si
A＋π3＋43
∵A∈0，π3，∴A＋π3∈π3，2π3，
∴si
A＋π3∈23，1，
∴△ABC
周长的取值范围为
32＋2，4
3
4．2019武汉4月调研在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝410，
fB＝2A，b＝151求a；2已知M在边BC上，且CMMB＝12，求△CMA的面积．
解：1由0Aπ，cosA＝410，知si
A＝46，
∴si
B＝si
2A＝2si
AcosA＝2×46×410＝415，由正弦定理sia
A＝sib
B＝sic
C可知，a＝bssii
BA＝6
2cosB＝cos2A＝2cos2A－1＝2×4102－1＝14，
si
C＝si
A＋B＝si
AcosB＋cosAsi
B＝
61r