第八章不定积分
§1不定积分概念与基本积分公式
1．验证下列等式（1）
∫f′xdx∫
fxC
（2）dfxfxC
∫
证明（1）因为fx是f′x的一个原函数，所以（2）因为duuC所以dfxfxC
∫f′xdx
fxC
∫
2．求一曲线yfx使得在曲线上每一点xy处的切线斜率为2x且通过点25解由导数的几何意义知f′x2x所以fx
∫f′xdx∫2xdxx
2
C于是
知曲线为yx2C再由条件“曲线通过点25”知，当x2时，y5所以有
522C解得C1从而所求曲线为yx21
3．验证y
x2sg
x是x在∞∞上的一个原函数2
x2x2′x当x0时yyy′x当x0时y的导数证明当x0时y22
xx22sg
x0xsg
x为limlim0所以y′0x→0x→0x2x
x0x0xx0
4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
152
f解由P122推论3的证明过程可知：在区间I上的导函数f′，它在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。5．求下列不定积分⑴1xx
3
∫
∫
1
3
x2x4dx∫1dx∫xdx∫xdx∫xdxx3x3C224x
3
2123
23
1
⑵x
1
1x342dx∫x2xdxxl
xCx33x
2
⑶
∫
dx2gx
x

∫x2g
1

12
dx
12g
2xC
12
2xCg
⑷
∫2

3x2dx∫22x223x32xdx∫4x26x9xdx
4x26x9xCl
4l
6l
9
⑸
∫
344x2
dx
313∫1x2dx2arcsi
xC2
⑹
x2x211111dx∫dx∫1dx1arcta
xC22∫31x23331x1x
⑺⑻
∫ta

2
xdx∫sec2x1dxta
xxC
∫si

2
xdx∫
1cos2x111dx∫1cos2xdxxsi
2xC2222
cos2xcos2xsi
2x⑼∫dx∫dx∫cosxsi
xdxsi
xcosxCcosxsi
xcosxsi
x
⑽
cos2xcos2xsi
2x11dx∫dx∫2dxcotxta
xC22∫cos2xsi
2xcosxsi
xsi
xcos2x
t2tt∫103dt∫109dt
⑾
109t90tCCl
109l
90
153
f⑿
∫
8xxxdx∫xdxx8C15
78
15
⒀
∫
1x1x1x1x2dx∫dx∫dx2arcsi
xC1x1x1x21x21x2
2
⒁
∫cosxsi
x
dx
1
∫1si
2xdx∫1dx∫si
2xdx
11
x
12
cos2xr