第十二章二阶常微分方程级数解法、本征值问题前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。以q1q2q3表示正交曲线坐标，则有
q1q1xyzq2q2xyzqqxyz33xxq1q2q3yyq1q2q3zzqqq123
xxxdxdq3dq1dq2q1q2q3yyy因：dydq1dq3dq2q1q2q3dzzdq1zdq2zdq3q1q2q3
于是由于q1的微小改变而引起的空间尺度变化
ds1
2
dxdydz
22
2
x2y2z2222dq1H1dq1q1q1q1
同理ds2
2
x2y2z2222dq2H2dq2q2q2q2
ds3
2
x2y2z2222dq3H3dq3q3q3q3
①标量函数uq1q2q3的梯度u的各分量为：
u1
u1uu1uu1uu2u3s1H1q1s2H2q2sHq33

3
②矢量函数的散度Aq1q2q3矢量场中单位体积的通量
f取由q1q1dq1q2q2dq2q3q3dq3六个曲面围成的微小六面体设A1A2A3分别为A沿q1q2q3增加方向的分量，于是又
Aq1q2q31AHdqHdqAHdqHdqH1dq1H2dq2H3dq312233q1dq112233q1

A2H1dqHq3dq13dq
22
2
AHd1q33qHqd1
2
3
A1H1dq2q2dqqHd
33
3
AH1qd2q1
3
Hdq2

1H1H2H3
A1H2H3A2H1H3A3H1H2q2q3q1
③
uuuuu1H2H3H1H3H1H2H1H2H3q1H1qr