用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
专业班级材料43
学生姓名
学号
指导教师
完成时间2016年6月8日
f用蒙特卡洛方法估计积分方法及matlab编程实现
实验内容
1用蒙特卡洛方法估计积分2
si
xxdxπ2
0xedx∞
和
2
2
221
x
yxyedxdy≤
的值
并将估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分2
1
xedx
和
22xy≤
的值
并对误差进行估计。
要求
1针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法
2利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值3进行重复试验通过计算样本均值以评价估计的无偏性通过计算均方误差针对第1类题或样本方差针对第2类题
以评价估计结果的精度。目的
1能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等
2熟练使用MATLAB对样本进行基本统计从而获取数据的基本信息
f3能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理
蒙特卡洛方法估计积分值总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望借助相应的随机数利用样本均值估计数学期望从而估计相应的积分值。具体操作如下
一般地积分b
dxxgaS改写成b
bdxfhdxfga
axxxfx
xS的形
式其中为fx一随机变量X的概率密度函数且fx的支持域
bfa0xxfx
xxgh
令YhX则积分SEY利用matlab软件编程产生随机变量X的随机数在由
∈
ba
ba01IxxxyxxIh得到随机变量Y的随机数求出样本均值以此估计积分值。
积分A
dxdygSyx的求法与上述方法类似在此不赘述。
概率密度函数的选取
一重积分由于要求fx的支持域bfa0xx为使方法普
遍适用考虑到标准正态分布概率密度函数2
2
e21xx
fπ
支持域为
R故选用2
2e21xxf
π
。
类似的二重积分选用2
2
221yxyxefπ
支持域为2R。
估计评价
f进行重复试验通过计算样本均值以评价估计的无偏性通过计算均方误针对第1类题积得出或样本方差针对第2类题积不出以评价估计结果的精度。
程序设计
依据问题分四类第一类一重积分第一类二重积分第二类一重积分第二类二重积分相应程序设计成四类。
为了使程序具有一般性以及方便以后使用一重积分程序保存为一个m文本被积函数积分区间均采用键盘输入二重积分程序主体保存为一个m文本被积函数键盘输入示性函数用fu
ctio
语句构造求不同区域二重积分只需改变fu
ctio
函数内容。
编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。
程r