定积分典型例题
13232
2
L3
3．
2
例1求lim

→∞
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间01
等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间01
等分，则每个小区间长为xi
11111，然后把2的一个因子乘



入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
lim
→∞113232112
3
2
L3
3lim33L3∫3xdx．20
→∞


4
例2
∫
2
0
2xx2dx__________________．_________
2
解法1由定积分的几何意义知，∫与x轴所围成的图形的面积．故∫
2
0
2xx2dx等于上半圆周x12y21y≥0
0
2xx2dx
π
．
2
解法2本题也可直接用换元法求解．令x1si
t（
π
2
≤t≤
π
），则
2
π
∫
2
0
2xx2dx∫2π1si
2tcostdt2∫21si
2tcostdt2∫2cos2tdt
200
π
π
π
2
例3比较∫exdx，∫exdx，∫1xdx．
2
1
1
1
2
2
2
分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1在12上，有ex≤ex．而令fxexx1，则f′xex1．当x0时，
2
f′x0，fx在0∞上单调递增，从而fxf0，可知在12上，有ex1x．又
∫
1
2
fxdx∫fxdx，从而有∫1xdx∫exdx∫exdx．
2
2
1
1
1
1
2
2
2
解法2
在12上，有ex≤ex．由泰勒中值定理ex1x
2
eξ2x得ex1x．注意到2
∫
1
2
fxdx∫fxdx．因此
1
2
∫1xdx∫edx∫e
x222
1
1
1
x2
dx．
例4估计定积分∫ex
2
0
2
x
dx的值．
分析要估计定积分的值关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
f解
设fxex
2
x
因为f′xex
2
x
2x1令f′x0，求得驻点x
1而2
11f0e01f2e2fe42
故
e
14
≤fx≤e2x∈02
从而
2e
14
≤∫ex
0
2
2
x
dx≤2e2
所以
2e2≤∫ex
20
2
x
dx≤2e4
b
→∞a

1
例5设fx，gx在ab上连续，且gx≥0，fx0．求lim∫gx
fxdx．解由于fx在ab上连续，fx在ab上有最大值M和最小值m．fx0知则由
M0，m0．又gx≥0，则

m∫gxdx≤∫gx
fxdxr