面BCE证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG
又NQ
AGDMBCENF
∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE又
BGCMBN，GAMANF
f∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE又面MG∩NGG，∴平面MNG∥平面BCE又MN平面MNG∴MN∥平面BCE
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行【例2】如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F求证：EF∥平面ABCD
D1A1EGDANMBCB1C1F
证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN又B1EC1F，∴EMFN故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，∴EF∥平面ABCD证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则
B1EB1GB1AB1B
∵B1EC1F，B1AC1B，∴
C1FB1GC1BB1B
∴FG∥B1C1∥BC又∵EG∩FGG，AB∩BCB，∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行【例3】已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MABN∶ND5∶8
P
M
DA
ONEB
C
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
f（2）求直线MN与平面ABCD所成的角（1）证明：∵PABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE∵AD∥BC，∴EN∶ANBN∶ND又∵BN∶NDPM∶MA，∴EN∶ANPM∶MA∴MN∥PE又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角由正棱锥的性质知POPB2OB2由（1）知，BE∶ADBN∶ND5∶8，∴BE
1322
65865，8
在△PEB中，∠PBE60°，PB13，BE根据余弦定理，得PE
91813291在Rt△POE中，PO，PE，28PO42∴si
∠PEO7PE42故MN与平面ABCD所成的角为arcsi
7思考讨论
证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法●闯关训练夯实基础1两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面r