§13正弦定理、余弦定理的应用二
一、基础过关
1如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的
面积为________．
2．三角形两条边长分别为3cm5cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6
＝0的根，则此三角形的面积是________cm2
3．△ABC
的两边长分别为
123，其夹角的余弦值为3，则其外接圆的直径为________．
4．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则→AB→BC的值为________．
5．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形的面积是________．6．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积S为________．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，→AB→AC＝3
1求△ABC的面积；
2若c＝1，求a的值．8．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3312且AD＝BD，求△ABC的面积．
二、能力提升9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC＝________
10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．11．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一点，且→BD＝32－1→BC，则AD的长
为______．12．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD
的长．
三、探究与拓展
13．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
1求最大角的余弦值；
2求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
答案
1．8π
2．6
3942
4－19
516
6
152
1
fA257．解1因为cos2＝5，
所以cosA＝2cos2A2－1＝35，si
A＝45又由→AB→AC＝3，得bccosA＝3，
所以bc＝5因此S△ABC＝12bcsi
A＝2
2由1知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，
所以a＝25
8．解设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，
在△CAD中，由余弦定理可知
cos∠CAD＝
5－x2＋42－x2312×5－x×4＝32
解得x＝1
在△CAD中，由正弦定理可知
ADsi

C＝si
C∠DCAD，
∴si
C＝ACDD1－cos2∠CAD
＝4
1－
3132
2＝3
8
7，
∴S△ABC＝12ACBCsi
C
＝12×4×5×387＝1547
所以三角形ABC的面积为1547
910610275π11．43－3
12．解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°由正弦定理，得si
A∠BBCA＝si
∠ACABC，si
∠ABC＝ACsAiB
∠BCA＝9si
530°＝190
∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是si
∠BAD＝si
∠ABC＝190
同理，在△ABD中，AB＝5，si
∠BAD＝190，∠ADB＝45°，
2
f由正弦定理：si
A∠BBDA＝si
B∠DBAD，
解得BD＝922故BD的长为922
13．解1设这三个数为
，
＋1，
＋2
∈N，最大角为θ，
则cos
θ＝
2r