D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BECF．求证：D为BC的中点．
答案

f
一．选择题（共3小题）1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E∠F90°，∠B∠C，AEAF，给出下列结论：①∠1∠2；②BECF；③△ACN≌△ABM；④CDDN．其中正确的结论有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵∠E∠F90°，∠B∠C，AEAF∴△ABE≌△ACF∴BECF∠BAE∠CAF∠BAE∠BAC∠CAF∠BAC∴∠1∠2△ABE≌△ACF∴∠B∠C，ABAC又∠BAC∠CAB△ACN≌△ABM．④CDDN不能证明成立，3个结论对．故选：B．
2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且ADCE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP4，则PF的长（）
A．2B．3C．1D．2

f
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴ABAC．∴∠BAC∠C．在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS）．
∴∠ABD∠CAE．
∴∠APD∠ABP∠PAB∠BAC60°．
∴∠BPF∠APD60°．
∵∠BFP90°，∠BPF60°，
∴∠PBF30°．
∴PF
．
故选：A．
3．如图，OAOC，OBOD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CDAB；③∠CDA∠ABC；其中正确的结论是（）
A．①②B．①②③C．①③D．②③【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB∠COD90°．∴∠AOB∠AOC∠COD∠AOC，即∠COB∠AOD．在△AOB和△COD中，

f
，∴△AOB≌△COD（SAS），∴ABCD，∠ABO∠CDO．在△AOD和△COB中
，∴△AOD≌△COB（SAS）∴∠CBO∠ADO，∴∠ABO∠CBO∠CDO∠ADO，即∠ABC∠CDA．综上所述，①②③都是正确的．故选：B．
二．解答题（共11小题）4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，ABAC，点E是BD上一点，且AEAD，∠EAD∠BAC．（1）求证：∠ABD∠ACD；（2）若∠ACB65°，求∠BDC的度数．
【解答】证明：（1）∵∠BAC∠EAD∴∠BAC∠EAC∠EAD∠EAC即：∠BAE∠CAD在△ABE和△ACD中

f
∴△ABE≌△ACD∴∠ABD∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC∠ABD∠BAC，∠BOC∠ACD∠BDC∴∠ABD∠BAC∠ACD∠BDC∵∠ABD∠ACD∴∠BAC∠BDC∵∠ACB65°，ABAC∴∠ABC∠ACB65°∴∠BAC180°∠ABC∠ACB180°65°65°50°∴∠BDC∠BAC50°．
5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CEBr