高中数学竞赛讲义（八）──平面向量
一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如aa表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量ab共线的充要条件是存在实数0，使得af
定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量ab不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数xy，使得cxayb，其中ab称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量ij作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数xy，使得cxiyi，则（xy）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量ab的夹角为，ab的数量积记作a则babcosabcosab，也称内积，其中bcos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若ax1y1bx2y2，1．abx1x2y1y2abx1x2y1y2，2．λaλx1λy1abcabac，
3．abx1x2y1y2cosab4abx1y2x2y1abx1x2y1y20
ab
0
1
f定义5若点P是直线P1P2上异于p1，2的一点，p则存在唯一实数λ，使
，
λ叫P分
所成的比，若O为平面内任意一点，则
。由此可得若
P1，P，P2的坐标分别为x1y1xyx2y2，则定义6设F是坐标平面内的一个图形，F上所有的点按照向量ahk的方向，将平移a个单位得到图形，这一过程叫做平移。pxy是F上任意一点，设平移到
上对应的点为
，则
称为平移公式。
定理5对于任意向量ax1y1bx2y2ab≤ab，并且ab≤ab【证明】因为a22a2bbab≥0，所以ab≥ab由向量的三角形法则及直线段最短定理可得ab≤ab注：本定理的两个结论均可推广。1）对
维向量，ax1x2x
，by1y2y
，同样有ab≤ab，化简即为柯西不等式：x1y1x2y2x
y
2≥0，又ab≥0ab≥0，所以ab≥ab由向量的三角形法则及直线段最短定理可得ab≤ab注：本定理的两个结论均可推广。1）对
维向量，ax1x2x
by1y2r