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(三)数列中的高考热点问题
命题解读数列在数学中既具有独立性,又具有较强的综合性,是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,从近五年全国卷高考试题来看,本专题的热点题型有:一是等差、等比数列的综合问题;二是数列的通项与求和;三是数列与不等式的交汇,难度中等.
等差、等比数列的基本运算
解决等差、等比数列的综合问题,关键是理清两种数列的项之间的关系,并注重方程思想的应用,等差比数列共涉及五个量a1,a
,S
,dq,
,“知三求二”.
【例1】2016天津高考已知a
是等比数列,前
项和为S
∈N,且a11-a12=a23,S6=63
1求a
的通项公式;2若对任意的
∈N,b
是log2a
和log2a
+1的等差中项,求数列-1
b2
的前2
项和.解1设数列a
的公比为q由已知,有a11-a11q=a12q2,解得q=2或q=-1又由S6=a111--qq6=63,知q≠-1,所以a111--226=63,得a1=1所以a
=2
-12由题意,得b
=12log2a
+log2a
+1=12log22
-1+log22

-12,
f即b
是首项为12,公差为1的等差数列.设数列-1
b2
的前
项和为T
,则T2
=-b21+b22+-b23+b42+…+-b22
-1+b22
=b1+b2+b3+b4+…+b2
-1+b2
=2
b12+b2
=2
2
规律方法1若a
是等差数列,则ba
b0,且b≠1是等比数列;若a
是正项等比数列,则logba
b0,且b≠1是等差数列.
2.对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系,以便实现等差、等比数列之间的相互转化.
2019南昌模拟已知各项均为正数且递减的等比数列a
满足:a3,32a42a5成等差数列,前5项和S5=31
1求数列a
的通项公式;2若等差数列b
满足b1=a4-1,b2=a3-1,求数列ab
的前
项和.解1由a3,32a42a5成等差数列得3a4=a3+2a5,设a
的公比为q,则
2q2-3q+1=0,解得q=12或q=1舍去,
所以S5=a111--12215=31,解得a1=16
所以数列a
的通项公式为a
=16×12
-1=12
-5
2设等差数列b
的公差为d,由b1=a4-1,b2=a3-1得b1=1,d=a3-
a4=4-2=2,
所以b
=2
-1,ab
=122
-6,
数列ab
的前


项和
T


12

4

12

2



12
2


6

161-14
1-14

643
f1-14

数列的通项与求

数列的通项与求和是高考的必考题型,求通项属于基本问题,常涉及等差、
等比数列的定义、性质、基本量的运算;求和问题关键在r
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