Pla
ck和RayleighJea
s黑体辐射公式的推导
Madeby0310340陶波0310351郑启飞0310337盛海翔
黑体是指在任何温度下对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L的正方形谐振腔。如图示
则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：
2uk2u0k2ω2ε
（1）
用分离变量法，令uxyzXxYyZz则（1）式可分解为三个方程：
d2X2dx2kxX02dY22kyY0dyd2Z2kz2Z0dz
其中
2kx2kykz2ω2ε
得（1）式的驻波解为：
fuxyzc1coskxxd1si
kxxc2coskyyd2si
kyyc3coskzzd3si
kzz
由在x0xLy0yLz0zL上的边界条件
DE0可得：
E
0及

ExA1coskxxsi
kyysi
kzzEyA2si
kxxcoskyysi
kzzEzA3si
kxxsi
kyycoskzz
kx
π
L
k
x，y
π
L
k
y，z
π
L

z

x
y
z012
（其中A1A2A3满足关系kxA1kyA2kzA30）则kj（j表示第j个本征态）的绝对值为：
2kj2
x
2
z22
2yjLL
2换成第j个本征态的频率得：νj
2
π
π
c22
j2L
当Lλj时，λj和νj可视为连续变化，不必取分立值，即有：
ν2
c22
2L
（2）
（2）式表明在整数
空间一组整数
x
y
z即对应一个本征
ν模的频率。因此，频率区间△内的本征模数，在数值上等
于整数
空间内数值半径由
→
△
范围内球壳体积的
f八分之一，即：
dNν4π
2△
1L4π4π3ν2△ν3ν2△νVBcc
（V为腔的体
积）又因为每一个频率为ν的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔△ν内的本征模数为：
dNν
设ε
8πV2νdν3c
T，频率为
Tν表示温度为
ν（Reply：是指某一个
特定频率）的本征振动的平均能量，ρTν为相应的能量密度，则振动频率在
ν到νdν之间的能量为：
8πV2νεTνdνc3
VρTνdνεTνdNν
ρTνdν
8π2νεTνdν3c
（3）
本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：
3E
hν2
（
0，1，2…）
系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦波尔兹曼分布律：即：NE
∝exp
E
kT
fE
kTεTν
E所以：exp
∑kT

∑E

exp
（4）
若令β
1Z，kT
∑expβE


则（4）式可改写为：εTν由
1dZZdβ
3Z∑expβE
∑expβ
r