浅谈正态分布的重要性质
摘要：正态分布是概率论中最常见、最重要的一个分布，原因有三：一、许多实
际问题中的变量都服从或者近似服从正态分布；二、正态分布的密度函数和分布函数具有各种优良性质；三、一些重要分布的极限分布为正态分布。四、一般正态变量都可以变换为标准正态变量，而人们制定了标准正态变量的分布函数值以供查询，这给有关正态分布的计算问题带来了极大的方便。本文就正态分布的这些特点做简要归纳。关键词：正态分布；正态变量；性质
以下首先介绍正态分布的定义，接着介绍正态变量的数字特征、曲线性质、取值范围，然后说明一般正态变量与标准正态变量的关系以及多个正态变量的和分布。最后介绍正态分布与其他分布的关系。1正态分布的定义如果一个连续型随机变量的密度函数为
fx12e
x222
，
其中0为常数，那么就称服从正态分布，记作N2正态分布也叫高斯（Gauss）分布。2实际问题中的正态变量在实际问题中，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，实验中的测量误差、热力学中理想气体分子的速度、经济学中的众多度量等都服从或者近似服从正态分布3正态变量的重要性质31数学期望和方差若正态变量N2，则ED2即正态变量的两个参数正是它的期望和方差。证明有
1
fEx


12
e

x222
dx
令z
x

1
，则
E
2



ze
z22

z22
dz
2



ze
dz2



e

z22
dz
DEE
2



x
2
12
e

x222
dx
令
y
x

，则有
2D2
22



ye
2

y22
2dy2



yde

y22

2y2y22yeedy
22
232图形性质



e
y22
dy
正态分布的密度曲线图形呈钟形，关于x对称，在x时取最大值
12
当不变时，越大，图形越平、越宽，在点附近取值的概率越小；
越小，图形越尖、越窄，在点附近取值的概率越大。当不变时，变大，图形往右移，变小，图形往左移直观地说，正态变量在点附近取值概率最大，在远离点处取值概率很小。33“3”法则若N2，则有
2
fPr