不单为同型矩阵而且是方阵2存在数域p上的
阶矩阵pPTAPB性质2（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同（2）对称性：如果B与A合同那么A也与B合同（3）传递性：如果B与A合同C又与B合同那么C与A合同因此矩阵的合同关系也是等价关系而且由界说可以直接推得：合同矩阵的秩等
定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同
定理3复数域上秩为r的二次型可以用适当的满秩线性变换化为
标准形：
fy12y22yr2
13矩阵的相似关系界说3设AB均为数域p上
阶方阵若存在数域p上
阶可逆矩
阵p使得P1APB则称矩阵A与B为相似矩阵（若
级可逆矩阵p为正交阵则称A与B为正交相似矩阵）
由矩阵的相似关系不难获得矩阵A与B相似必需同时具备两个条件1矩阵A与B不单为同型矩阵而且是方阵2在数域p上
阶可逆矩阵P使得P1APB
性质31反身性AETAE
2对称性由BCTAC即得AC1TBC1
（3）传递性A1C1TAC1和A2C2TA1C2即得A2C1C2TAC1C2
总之合同是一种矩阵之间的等价关系而且经过非退化的线性替换
创作时间：二零二一年六月三十日
f创作时间：二零二一年六月三十日
新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的
4P1k1A1k2A2Pk1P1A1Pk2P1A2P（其中k1k2是任
意常数）；
5）P1A1A2PP1A1PP1A2P；6）若A与B相似则Am与Bm相似（m为正整数）；7相似矩阵有相同的秩而且如果BP1AP为满秩矩阵那么B1P1AP1P1A1P
即满秩矩阵如果相似那么它们的逆矩阵也相似8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果BP1AP则有：BP1APP1APA
9）相似的矩阵或者都可逆或者都不成逆；而且当它们可逆时它们的逆矩阵相似；
设BP1AP若B可逆则B1P1AP1PA1P1从而AB1与A1相似
若B不成逆则P1AP不成逆即A也不成逆
下面这个性质是一个重要的结论因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同
推论3相似矩阵有相同的迹
2矩阵的等价、合同和相似之间的联系
（1）由以上三种矩阵间的关系的界说可以知道每一种矩阵关系存在所必需具备的条件可是这三种关系彼其间存在着密切的联系
定理5相似矩阵必为等价矩阵等价矩阵未必为相似矩阵．
证明：设
阶方阵AB相似由界说3知存在
阶可逆矩阵P1使得P11AP1B此时若记PP11QP1则有PAQB因此由界说1获得
阶方阵AB等价
创作时间：二零二一年六月三十日
f创作时间：二零二一年六月三十日
反过来
对矩阵
A


10
01
00


B


10
21
10

等r