数学讲义之导数及其应用
【题型分类】选择题部分：2〖例1〗（2011江西）若fx＝x－2x－4l
x，则f′x0的解集为A．0，＋∞B．－10∪2，＋∞C．2，＋∞D．－1042x－2x＋1C【解析】方法一：f′x＝2x－2－＝令0，又∵fxxx的定义域为xx0，∴x－2x＋10x0，解得x2故选C4方法二：令f′x＝2x－2－0，由函数的定义域可排除B、D，取x＝1x代入验证，可排除A，故选C〖例2〗（2011江西）曲线y＝e在点A01处的切线斜率为1A．1B．2C．eDexx0A【解析】y′＝e，故所求切线斜率k＝ex＝0＝e＝1故选A3〖例3〗（2011山东）曲线y＝x＋11在点P112处的切线与y轴交点的纵坐标是A．－9B．－3C．9D．152C【解析】因为y′＝3x，所以k＝y′x＝1＝3，所以过点P112的切线方程为y－12＝3x－1，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为91si
xπ－在点M，0处的切线的斜率〖例4〗（2011湖南）曲线y＝si
x＋cosx24为11A．－B22C．－B22D22
x
si
x1【解析】对y＝－求导得到si
x＋cosx2cosxsi
x＋cosx－si
xcosx－si
x1y′＝＝22，si
x＋cosxsi
x＋cosxππ当x＝，得到y′x＝44＝1
2＋22
2
1＝222
〖例5〗（2011浙江）设函数fx＝ax＋bx＋ca，b，c∈R，若x＝－1为x函数fxe的一个极值点，则下列图象不可能为y＝fx的图象是．．．
f图1－3xxxx2D【解析】设Fx＝fxe，∴F′x＝ef′x＋efx＝e2ax＋b＋axx＋bx＋c，又∵x＝－1为fxe的一个极值点，2∴F′－1＝e－a＋c＝0，即a＝c，222∴Δ＝b－4ac＝b－4a，当Δ＝0时，b＝±2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；b当Δ0时，1，即对称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右2a边．又f－1＝a－b＋c＝2a－b＜0，故D错，选D简答题部分：22〖例6〗（2011浙江）设函数fx＝al
x－x＋ax，a01求fx的单调区间；22求所有实数a，使e－1≤fx≤e对x∈1，e恒成立．注：e为自然对数的底数．22【解答】1因为fx＝al
x－x＋ax，其中x＞0，2ax－a2x＋a所以f′x＝－2x＋a＝－xx由于a＞0，所以fx的增区间为0，a，减区间为a，＋∞．2由题意得：f1＝a－1≥e－1，即a≥e由1知fx在1，e内单调递增，2要使e－1≤fx≤e对x∈1，e恒成立，f1＝a－1≥e－1，只要222fe＝a－e＋ae≤e解得a＝e〖例7〗（2011北京）已知函数fx＝x－ke1求fx的单调区间；2求fr