得x22
33333则点B00，C00，P03．222
∴A2
333333∴CB0，BP32222
∴椭圆E：
333xy022设
＝（x，y，1）是平面PBC的一个法向量，则由
得CB0，
BP0，33x3y3022
x23y21，a＝2，b＝1，∴c3，∴离心率e．42
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为y
xx2所以y222
33x解得11．3，所以
3y1
3易知OB00是平面APC的一个法向量．2
所以切线l1，l2的斜率分别为
22x1，x2．22
设二面角APCB为θ，观察图形，可知θ为锐角．
∴coscos
OB3311002132，7332221123
当l1⊥l2时，
22x1x21，即x1x2＝－2．22
ykx2由2得x222kx42k0，x22y
所以x1x242k2，解得k
∴si

27727．7
2．4
又8k282ka8k280恒成立，所以存在直线l的方程是y21．解：（Ⅰ）f
x2当0x当x
2x2，即x22y20．4
∴二面角APCB正弦值是

2x
，f′
（x）＝0时，xxx2

时，f′
（x）＜0，f
（x）为减函数，2

时，f′
（x）＞0，f
（x）为增减函数，2
故f
（x）的单调减区间为0，单调增减区间为224（Ⅱ）∵f4（x）＝2x－4l
x，∴f4x2，x
∴k＝－2，切点（1，2）
好教育云平台期末考试试卷第7页（共10页）
好教育云平台期末考试试卷第8页（共10页）
f∴切线：y＝－2x＋4．
时，函数f
（x）－2x－
l
x（
∈N）取极小值，即为最小值，2
f

l
1l
．22
当
＜6时，f
0，此时，f
0无解，22
当
≥6时，f
0，此时，f
0有解22
∴f（x）≥a2－2a，化为a22a≤3∴－1≤a≤3即a∈
（Ⅲ）由（Ⅰ）知x
若fk（x）＝0在（k，k＋1）上有且只有一个解，需有fk（k）fk＋1（k＋1）＜0．
k又fk（x）在上为单调函数，∴fk（k）＜0，fk＋1（k＋1）＞0，2
∴由fk（k）＜0，即k（2－l
k）＜0，可得k≥e2，即k≥8，由fk＋1（k＋1）＞0，即2（k＋1）－kl
（k＋1）＞0，
2
l1k令g（k）－2（k＋1）－kl
（k＋1）＞0（k≥8），gkk，k1
当k≥8时，l
（k＋1）r