数系的扩充与复数的引入知识点（一）
1．复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式zabi，ab∈R；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集
整数有理数实数b0分数复数abiabR小数无理数无限不循环虚数b0纯虚数a0非纯虚数a0
3．复数abiab∈R由两部分组成，实数a与b分别称为复数abi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b0时，abi就是实数，当b≠0时，abi是虚数，其中a0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a0仅是复数abi为纯虚数的必要条件，若ab0，则abi0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i，（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；（2）减法：z1－z2a1－a2b1－b2i；
f（3）乘法：z1z2a1a2－b1b2a1b2a2b1i；
z1a1a2b1b2a2b1ab12i22a2b2（4）除法：z2；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：
①i
为整数的周期性运算；
②1±i2±2i；
13③若ω22i，则ω31，1ωω20
5．共轭复数与复数的模（1）若zabi，则zabi，zz为实数，zz为纯虚数b≠0
222（2）复数zabi的模Zab且zzza2b2
6根据两个复数相等的定义，设abcd∈R，两个复数abi和cdi相
aca0等规定为abicdibd由这个定义得到abi0b0
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
7．复数abi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。
8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2－1结合到实际运算过程中去。如abia－bia2b2
f9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足cdixyiabicbi≠0的复数xyi叫做复数abi除以复数cdi的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，
abiabicdiacbdbcadicdicdicdic2d2即
10．复数abi的模的几何意义是指表示复数abi的点到原点的距离。
（二）典型例题
例1．使不等式m2－m2－3mi＜m2－4m＋3i＋10成立的实数m＝
iz例2．证明：iz＝1．
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