2019最新考研数学模拟试题(含答案)
学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________题号一总分得分
一、解答题1.设fx在ab上有
1阶连续导数,在ab内有
阶导数,且
fbfafaf
1a0试证:在ab内至少存在一点,使
f
0
证明:首先,对fx在ab上应用罗尔定理,有a1ab,即aa1b,使得
fa10;其次,对fx在ab上应用罗尔定理,有a2a1b,即
aa1a2b,使得fa20一般地,设在ab内已找到
1个点
a1a2
a
1其中aa1a2
a
1
b使得
f
a
1
1
0,则对
f
1x0
在a
1b上应用罗尔定理有a
1bab使得f
0
2.计算下列向量场A的散度与旋度:
1Ay2z2z2x2x2y2;
解:02yzzxxy
2Ax2yzxy2zxyz2;
解:6xyxz2y2yx2z2zy2x2
3
A
xyz
yzx
zxy
解:
1yz
1zx
1xy
,
1xyz
y2z
z2y
z2x
x2z
x2y
y2x
3.当x1时,无穷小量1x与11x2211x2是否同阶?是否等价?2
解:1
lim
x1
1x1x2
lim1x11x
12
∴当x1时,1x是与1x2同阶的无穷小
2
lim
12
1
x2
lim1
x
1
x11x
x12
f∴当x1时,1x是与11x2等价的无穷小2
4.讨论下列函数在指定点的连续性与可导性
1ysi
xx0
解:因为limy0y所以此函数在x0处连续
x0
x0
又
f0
lim
x0
fxf0x0
limsi
xxx0
1
f0
lim
x0
fxf0
si
x
lim1
x0
xx0
f0f0,故此函数在x0处不可导
2
y
x2
si
1x
0
x0x0
x0
解:因为limx2si
10y0故函数在x0处连续
x0
x
又
y0
lim
f
x
f
0
lim
x2
si
1x
0
x0x0
x0x
故函数在x0处可导
xx13y2xx1x1
解:因为
limfxlim2x1
x1
x1
limfxlimx1
x1
x1
limfxlimfxf11故函数在x1处连续
x1
x1
又
f1
lim
x1
fxf1x1
limx1
x11x1
f1
r