2013年数学中考试题专题1二次函数与相似三角形1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线yaxbxc关于直线x1对称，与坐标轴
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交于A、B、C三点，且AB4点D2，在抛物线上，直线是一次函数

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ykx2k0的图象，点O是坐标原点
（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由
答案：（1）因为抛物线关于直线x1对称，AB4，所以A1，0B3，0由点D2，15在抛物线上，所以又
abc0，所以3a3b15即ab054a2bc15
b131，即b2a代入上式解得a05b1从而c15所以yx2x2a2213（2）由（1）知yx2x，令x0得c015所以CDAB2273令kx215得l与CD的交点F，2k22令kx20，得l与x轴的交点E0，k
根据S四边形OEFCS四边形EBDF得：OECFDFBE
27271132解得kk2kk2k5131（3）由（1）知yx2xx122222
即：所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y
12x2
假设在y轴上存在一点P0，t，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO∠NPO所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1
f所以
MM1PM1………………1NN1PN1xMtyM又yMkxM2yNkxN2xNtyN
12x中，整理得x22kx402
不妨设MxMyM在点NxNyN的左侧，因为P点在y轴正半轴上，则（1）式变为
所以（t2）xMxN2kxMxN……2把ykx2k≠0代入y
所以xMxN2kxMxN4代入（2）得t2符合条件，故在y轴上存在一点P（02），使直线PM与PN总是关于y轴对称考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查r